Egy olyan geometriai feladatot tárgyalunk, amelynek gyökerei több mint ezer évre nyúlnak vissza a matematika történetében. Vajon mi az a legkevesebb darabszám, amennyire egy négyzetet felbontva a részekből három azonos területű négyzetet tudunk kirakni? A pontos válasz ma sem ismert, de erős a gyanú, hogy talán 6 lehet. 1891-ben egy angol szerző, Henry Perigal publikált is erre a darabszámra egy konkrét megoldást. Érdekes, hogy eddig még senki nem vette észre, hogy ezt Bolyai Farkasnak a Tentamenben (1832–33) közölt geometriai algoritmusa is megtalálja.
Daraboljunk fel egy négyzetet úgy, hogy a keletkező darabokból pontosan három, azonos területű négyzetet rakhassunk ki. Azon, hogy ezt valahogyan meg lehet csinálni, egyetlen igazi matematikus sem lepődik meg a 21. században. De mondhatjuk azt is, hogy a korábbi évszázadokban sem lepődött volna meg, hiszen a feladat megoldása több mint ezer éve ismert. Sőt, az évezredekkel még régebbi Pitagorasz-tétel is rokon ezzel, ahol lényegében két – nem feltétlenül azonos területű – négyzet területének összege azonos egy harmadik négyzet területével. Abul l-Vafá Muhammad ibn Muhammad al-Búzdzsáni (940–998) perzsa származású, arabul alkotó matematikus és csillagász már a 10. században talált egy olyan felbontást, amely az eredeti négyzet 9 darabjából rakta ki a három azonos területű kisebb négyzetet. Az iszlám művészetben a geometriai mozaikok készítése során is találkozhatunk ilyen feladatokkal a különböző színes csempék motívumainak vizsgálatakor.
Ha az előbbi feladathoz még azt a feltételt is hozzátesszük, hogy a megoldást minimális darabszámmal oldjuk meg, akkor egy olyan nehéz feladathoz jutunk, amelynek teljes megoldása ma sem ismert. Mindenesetre Abul l-Vafá 9 darabos felbontását a szakirodalom szerint a 14. században Abu Bakr al-Khalil 8 darabra már le tudta csökkenteni. 1778-ban Jean-Étienne Montucla (1725–1799) francia matematikus és matematikatörténész is közölt egy ilyen eredményt, amit 1883-ban egy másik híres francia matematikus, Édouard Lucas (1842–1891) tovább csökkentett 7-re. Ez utóbbi bekerült Kőnig Dénes (1884–1944) magyar matematikus 1905-ben megjelent Mathematikai mulatságok című művének 1. füzetébe is, a sokkal nehezebb jelzővel illetett felbontási feladatok közé.
A 19. században egy hosszú életű angol hivatalnok, Henry Perigal (1801–1898), aki tőzsdeügynökként működött, egész életében agglegény volt, és így a sok szabadidejében nagyon szeretett matematikai feladatokon is gondolkodni, 1891-ben közölt egy olyan felbontást, amelynél elég volt csak 6 darabot használni a megoldáshoz. Ennél kevesebb részre való darabolást eddig még senki sem talált, és talán nincs is. A feladatot manapság is aktívan kutatják, ezért meglepetés lehet még a téma szakemberei számára is, hogy Perigal megoldását Bolyai Farkas (1775–1856) egyik könyvében, a Tentamenben (1832–33) bemutatott egyik geometriai algoritmusával is meg lehet találni.
Bolyai Farkasnak számos önálló matematikai eredménye közül (pl. a párhuzamossági axiómát helyettesítő axiómák, trinom egyenletek gyökközelítései, végtelen sorok konvergenciakritériumai stb.) az egyik legtöbbet ma is emlegetett a síkidomok átdarabolásával kapcsolatos híres tétele. Igaz, volt már olyan tapasztalatunk is, hogy a híres Bolyai–Gerwien-tételben a Bolyai névről a kevésbé tájékozott külföldi kutatók azt hitték, hogy az ott Bolyai Jánost (1802–1860) takarja. Természetesen ez nincs így, itt a Bolyai név az apát, Bolyai Farkast jelöli. A fenti tétel, amit Wallace–Bolyai–Gerwien-tételként is ismernek, azt mondja ki, hogy az egyenlő területű sokszögek egymásba átdarabolhatók.
Oberwolfachban egy lengyel matematikus és matematikatörténész, Witold Więsłav (1944–2023) egyszer azt mondta nekem, hogy ő kereste, de szerinte nincs benne a Tentamenben ennek a híres tételnek a bizonyítása. Pedig a végszerű területegyenlőséggel kapcsolatban Szénássy Barna (1913–1995) debreceni matematikatörténész és Weszely Tibor (1936–2019) marosvásárhelyi Bolyai-kutató is könyveikben rámutattak már arra, hogy itt Bolyai Farkas tulajdonképpen három tételt is kimond, igaz, közülük a bizonyítása csak egynek teljes. Ez a tétel úgy szól, hogy „Két, egyenes vonalakkal határolt, egyenlő területű síkbeli sokszög végszerűen egyenlő.” Bolyaianál a végszerű egyenlőség azt jelentette, hogy a két síkidom véges számú, kölcsönösen egybevágó darabokra bontható. A tétel bizonyításának gazdag irodalma van.
Az említett tétel igazolásához Bolyai Farkas felhasznált egy olyan segédtételt, amelynek bizonyítása konstruktív, és egyben egy geometriai algoritmust is megad arra, hogy két, bizonyos tulajdonságokkal rendelkező paralelogrammát hogyan lehet egymásba átdarabolni. Ha ezt a geometriai eljárást az előbbi kiindulási négyzetre és egy olyan téglalapra alkalmazzuk, amely téglalapot úgy kapunk meg, hogy a végeredményként előálló három kis négyzetet egymás mellé tesszük, a Bolyai Farkas algoritmusa által megadott átdarabolás a Perigal megoldását adja, vagyis a ma ismert eddigi egyik legjobb 6 darabos felbontást. Az algoritmus működésének szakmai részleteit egy külön matematikai tanulmányban fogjuk majd közölni. Meg kell azonban jegyeznünk azt is, hogy 2010-ben publikáltak már az előbbitől eltérő, más 6 darabos felbontást is.
Bolyai Farkas hagyatékában sikerült még találnom egy olyan kéziratot is, amelyen további, a témával kapcsolatos ábrák találhatók (jobb oldali kép). A BF 110/1-es jelzetszámú oldal bal alsó és jobb felső sarkában látható felbontások szintén az előbb tárgyalt feladattal rokonok, hiszen ott egy négyzetnek öt azonos területű kis négyzetbe való átdarabolásának egy lehetséges megoldását láthatjuk (9 darabos felbontást). Biztatjuk is a kedves olvasót, hogy ragadjon ollót, és valamilyen színes papírból próbálja meg maga is feldarabolni a Bolyai-kéziraton látható bal alsó négyzet alakú lapot (rövid elemzés után könnyen felismerheti a konstrukciót), és a kapott darabokból állítson elő öt kicsi, egybevágó négyzetet!
Felhasznált irodalom
Wolfgangi Bolyai de Bolya (Bolyai Farkas): Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi. Cum appendice triplici. Auctore Professore Matheseos et Physices Chemiaeque Publ. Ordinario. Tomus Secundus. Maros Vásárhelyini. 1833. Typus Collegii Reformatorum per Josephum, et Simeonem Kali de felső Vist. (Ed. II. Budapestini, 1904. Elementa geometriae et appendices. Ed. Josephus Kürschák, Mauritius Réthy, Béla Töttösy de Zepethnek. Pars II. Figurae.) [A kötet címe magyarul: Kísérlet, a tanulóifjúságot a tiszta matematika elemeibe és a magasabb fejezeteibe szemléletes és éppen ezért közérthető módon bevezetni.]
Bolyai Farkas kéziratos hagyatéka. Teleki–Bolyai Könyvtár, Marosvásárhely. Mikrofilmen: Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárának Mikrofilmtára.
Christian Blanvillain – János Pach: Square Trisection Dissection of a Square in Three Congruent Partitions. Bulletin d’Informatique Approfondie et Applications, No. 86. – Juin, 2010.
Henry Perigal: Geometric Dissections and Transpositions. Association for the Improvement of Geometrical Teaching, 1891.
Kőnig Dénes: Mathematikai mulatságok 1–2. Lampel R. Könyvkereskedés, Budapest, 1905. (2. kiadás, Typotex, Budapest, 1996).
Szabó Péter Gábor: William Wallace és a Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel. Matlap, XXVI. évf. 9. sz., 2022. 314–316. o.
Szabó Péter Gábor: Bolyai Farkas vagy Henry Perigal? In: XI. Tudomány- és Technikatörténeti Konferencia (Csíksomlyó, 2018. június 28. – július 1.), Erdélyi Magyar Műszaki Tudományos Társaság, 2018. 45. o.
Szénássy Barna: Bolyai Farkas (1775–1856). Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975.
Weszely Tibor: Bolyai Farkas, a matematikus. Tudományos Könyvkiadó, Bukarest, 1974.
(A dolgozat a szerzőnek a XI. Tudomány- és Technikatörténeti Konferencián (Csíksomlyó, 2018. június 30.) tartott előadásának rövidített változata.)
